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1.11.1 Extremos absolutos

En esta sección veremos el concepto de extremos de una función. Observa la gráfica de la función f(x)=1+x² en el dominio [-3,5].

 

f(x)= 1 + x²

 

Como observarás la función f(x)=1+x² en el dominio [-3,5] tiene dos valores que bien podríamos llamar extremos. Los puntos indican claramente que para ese dominio el valor mínimo de la función es 1 y el valor máximo es 26.

    ¿Existe un valor menor que 1 o uno mayor que 26 en el intervalo mostrado?

    Esta gráfica sugiere la posibilidad de que una función tenga un valor máximo y un mínimo en un intervalo cerrado.

 

Definición de extremos absolutos: Sea f(x) una función definida en un intervalo I, los valores máximo y mínimo de f en I (si los hay) se llaman extremos de la función.    Se distinguen dos clases: Un número f(c) es un máximo absolutode f si f(x)f(c) para todo x en el intervalo I. Un número f(c) es un mínimo absoluto de f si f(x)f(c) para todo x en el intervalo I.

 

    Los extremos absolutos también reciben el nombre de extremos globales.

 

Teorema 15: Teorema de los valores extremos. Una función f(x) continua en un intervalo cerrado [a,b] siempre tiene máximo absoluto y un mínimo absoluto en el intervalo.

 

  El teorema anterior nos asegura que en un intervalo cerrado, una función continua siempre tendrá un valor máximo y un valor mínimo. El teorema no dice nada si el intervalo es abierto.

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