1.6.3 Cálculos y gráficas |
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Observa la siguiente gráfica.
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A continuación, se muestra una animación que contiene una serie de gráficas mostrando la curva y las rectas secantes (por la izquierda y por la derecha) para valores de h cada vez mas pequeños. Se mostrarán dos rectas secantes: una para h y otra para -h.
Observa el comportamiento de las rectas
secantes conforme h
0.
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¿Qué observaste acerca de
las rectas secantes cuando h0?
A continuación se presentan tablas de valores de las pendientes de las rectas secantes como función del número h. Observa el valor de las pendientes conforme h se acerca a cero.
| Pendiente | ||
|---|---|---|
| h | derecha | izquierda |
| 0.01 | 2.01 | 1.99 |
| 0.008 | 2.008 | 1.992 |
| 0.006 | 2.006 | 1.994 |
| 0.004 | 2.004 | 1.996 |
| 0.002 | 2.002 | 1.998 |
| 0.001 | 2.001 | 1.999 |
Observa el valor de las pendientes de las
rectas secantes (por la derecha y por la izquierda) conforme h0.
¿Qué observas? ¿Se acercan a un mismo número
o no?
En caso afirmativo, decimos que las secantes tienden al mismo límite.
Esta observación es la base para definir la pendiente de la recta tangente a la curva y=f(x) en el punto (a,f(a)). Si las secantes no tienden al mismo límite, entonces la curva no tiene tangente en ese punto.
Definición de recta tangente: La recta tangente a una curva dada por y=f(x) en el punto (a,f(a)) es la recta que pasa por ese punto y que tiene como pendiente el número
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0Nota: La idea de que
la recta tangente a una curva es aquella que la toca en un solo punto es
errónea. La recta tangente puede tocar o cortar a la curva en mas
de un punto. La definición anterior es la correcta.
Ejemplo
de una curva que no tiene tangente en un punto
| f (x) ={ | - x2+4, | si -1 <= x < 2 |
| x-2, | si 2 <= x <= 5 |
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Observa el valor de las pendientes de las
rectas secantes (por la derecha y por la izquierda) conforme h0.
¿Qué observas? ¿Se acercan a un mismo número
o no? En caso afirmativo, la curva tiene tangente en ese punto. En caso
negativo, decimos que la curva no tiene tangente en ese punto.
Caso
especial: tangentes verticales
Como debes saber, una recta vertical no tiene una pendiente definida. Es decir, su pendiente no es un número real. (A veces se dice incorrectamente que su pendiente es infinita). Observa el siguiente ejemplo.
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Debe ser evidente que las dos rectas secantes se acercan a una recta vertical. En estos casos decimos que la curva tiene una tangente vertical en ese punto.
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