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1.7.3 Velocidad instantánea

Imagínate ahora la siguiente pregunta: ¿Cuál es la velocidad de la partícula cuando pasa por el punto s=2? (Por decir algo).

    La pregunta es equivalente a la siguiente: ¿Cuál es la velocidad de la partícula para el tiempo t o los tiempos t que corresponden a s=2?

    Puesto que para calcular la velocidad debemos medir el cambio en la posición durante un intervalo de tiempo y calcular la razón de cambio promedio (cociente del cambio en la posición entre el intervalo de tiempo), tenemos el mismo problema que con la recta tangente a una curva. Necesitamos dos puntos. Es decir, necesitamos conocer la posición para dos valores del tiempo y necesitamos calcular la velocidad promedio durante ese intervalo. Usaremos la misma estrategia que usamos para encontrar la pendiente de la recta tangente a una curva.

    Calcularemos las posiciones s(t) y s(t+t) y luego la velocidad promedio para ese intervalo de tiempo.

	s(t + t) - s(t)
vprom =
	t

 

  En la siguiente animación se analiza para un valor del tiempo t = /2 el valor de la velocidad (Reduerda que s(t)=3 sen t). Observa que, numéricamente, el valor de la velocidad promedio es igual a la pendiente de la recta secante que pasa por los dos puntos de la curva de s(t).

 

    ¿Qué observaste acerca de las rectas secantes cuando t0?

    A continuación se generan tablas de valores de las velocidades promedio como función del número t. Observa el valor de las velocidades conforme t se acerca a cero.

Velocidad promedio
t	derecha	izquierda
0.009	-0.0134999	0.0134999
0.007	-0.0105	0.0105
0.005	-0.00749998	0.00749998
0.003	-0.0045	0.0045
0.001	-0.0015	0.0015

 

  Observa el valor de las pendientes de las rectas secantes, o sea el valor de las velocidades promedio, (por la derecha y por la izquierda) conforme t0. ¿Qué observas? ¿Se acercan a un mismo número o no?

    Esta observación es la base para definir la velocidad instantánea de la partícula en el tiempo t.

Definición de velocidad instantánea: Sea s(t) la función que define la posición de una partícula en movimiento rectilíneo. La >velocidad instantánea de la partícula en un tiempo t se define como:     s(t + t) - s(t)   v(t) =   Lim  [ ]  t0  t

 

Observa un detalle muy importante: La definición anterior es idéntica en forma a la definición de la pendiente de la recta tangente a una curva. Esto sugiere que el concepto del límite en una expresión de la forma Lim [f(x+h)-f(x)]/h cuando h0 es un concepto importante. De hecho, es un concepto fundamental de las matemáticas. Es el concepto de la derivada.

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