1.10.2 Ejemplos

Ejemplo 1:

Una persona de 1.80 metros de altura se aleja de un poste de alumbrado de 6 metros de altura con una velocidad de 1 m/s. ¿Con qué rapidez crece la sombra de la persona?

Observa la siguiente animación. En ella observarás como cambia la sombra que una persona proyecta sobre el piso, cuando esa persona se aleja de la fuente luminosa.

Como habrás observado, la longitud de la sombra depende de la distancia de la persona al poste. Puesto que la distancia x cambia con el tiempo, también la longitud de la sombra s cambia con el tiempo. La razón de cambio de la longitud de la sombra con respecto al tiempo, depende de la velocidad con la que la persona se aleja del poste. A esto le llamamos razones de cambio relacionadas. Enseguida, se muestran los cálculos necesarios para encontrar la razón de cambio de la sombra del ejemplo anterior.

La relación entre x y s es:

1.8		6
	==
s(t)		s(t) + x(t)

Despejando a s(t) obtenemos:

s(t) = (0.428571) x(t)

Derivando con respecto al tiempo obtenemos s'(t):

s'(t) = (0.428571) x'(t)

Sustituyendo el valor de x'(t)=1. obtenemos:

s'(t) = 0.428571

La razón de cambio de s con respecto a t es:

s'(t)= 0.428571 cuando x'(t)= 1

Los pasos ilustrados en el ejemplo anterior son típicos en la solución de un problema de razones de cambio relacionadas. Este procedimiento se resume en la siguiente lista.

Te sugerimos seguir este procedimiento en la solución de este tipo de problemas.

Los problemas de razones de cambio relacionadas se resuelven siguiendo los siguientes pasos:

1. Hacer una ilustración de la situación planteada.

2. Identificar con símbolos las cantidades que varían en el tiempo.

3. Identificar las razones que se conocen y la razón que se busca.

4. Escribir una ecuación que relacione las variables.

5. Derivar implícitamente con respecto al tiempo la ecuación obtenida en el paso 4.

Ejemplo 2:

Se inyecta aire a un globo esférico a razón de 20 pies cúbicos / min. ¿A qué razón varía el radio cuando éste mide 3 pies? La solución y una animación que ilustra el problema se muestran a continuación.

Observa que si V representa el volumen y r el radio: dV/dt = 20 pies cúbicos / min dr/dt = ? cuando r =3 pies.

La relacion entre volumen y radio es:

	4 r(t)³
V(t) =
	3

Derivando implícitamente con respecto al tiempo

(recuerda la regla de la cadena):

V'(t) = 4 r(t)² r'(t)

Despejando r'(t) obtenemos:

	V'(t)
r'(t) =
	4 r(t)²

Sustituyendo V'(t)= 20 y r(t)= 3:

	5
r'(t) =
	9

La razón de cambio buscada es

	5
r'(t)=
	9

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