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1.12.2 Criterio de la Primera Derivada

Sea f(x) una función diferenciable en (a,b) y c un valor crítico tal que a<c<b. Sería conveniente poder determinar si f(c) es un máximo o un mínimo relativo de f(x), esto nos ayudaría a trazar la gráfica de f(x).

Ejemplo: Gráfica de f(x) = x3 - 3x2 - 9x + 2

    Esta función es continua en todo su dominio. Vamos a analizar su gráfica y el comportamiento de su derivada en el intervalo -5<x<5. El objetivo es el de detectar los máximos y mínimos relativos y determinar algún criterio para encontrarlos utilizando la primera derivada. Observa la siguiente gráfica.


 
f(x)= x3 - 3x2 - 9x2 + 2
f'(x)= 3(x - 3)(x + 1)
Números críticos: {-1.0, 3.0}
  f(-1.0)= 7.0
  f(3.0)= -25.0
 

  Como verás los extremos relativos de f(x) son f(-1) y f(3). En la siguiente animación observa el comportamiento de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) al pasar por los puntos extremos relativos.

    Observa que en los intervalos en los que la función crece, la pendiente de la recta tangente tiene signo positivo, y cuando la función es decreciente, el signo de la pendiente es negativo.

    Como ya te habrás dado cuenta las pendientes cambian de signo en los valores críticos.

    Para verificar esto a continuación se muestra una tabla de valores de las pendientes de las rectas tangentes a la gráfica de f(x) para -5<x<5, observa el comportamiento de las pendientes.


 
x  pendiente 
-5.0  96.00 
-4.5  78.75 
-4.0  63.00 
-3.5  48.75 
-3.0  36.00 
-2.5  24.75 
-2.0  15.00 
-1.5  6.75 
-1.0  0.00 
-0.5  -5.75 
0.0  -9 
0.5  -11.75 
1.0  -12.00 
1.5  -11.25 
2.0  -9.00 
2.5  -5.75 
3.0  0.00 
3.5  6.75 
4.0  15.00 
4.5  24.75 
5.0  36.00 
 

  ¿Qué observas? ¿Hay cambios de signo? ¿Detectaste el máximo y mínimo relativos? ¿Cuándo se presentan?

    De acuerdo a lo que se observa en el ejemplo, parece razonable enunciar el siguiente teorema:


 
 

Teorema 18: Criterio de la primera derivada para extremos relativos.

Sea f(x) continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), excepto posiblemente en el valor crítico c.  

 
  • Si f '(x)>0 para a<x<c y f '(x) < 0 para c<x<b entonces f(c) es un máximo relativo
  • Si f '(x)<0 para a<x<c y f '(x)>0 para c<x<b entonces f(c) es un mínimo relativo
 

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