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1.13.2 Definición de concavidad

Observemos las siguientes gráficas (todas son acerca de la misma función, pero en diferentes intervalos).

 

Esta gráfica es cóncava hacia abajo

¿Qué observas acerca de laspendientes de las rectas tangentes?    Ahora observa y compara la gráfica de esta función con la gráfica de su derivada.

La siguiente gráfica es cóncava hacia arriba

¿Qué observas acerca de las pendientes de las rectas tangentes?    Ahora observa y compara la gráfica de esta función con la gráfica de su derivada.

    Como debes haber observado, cuando la función es cóncava hacia abajo, la derivada f' es una función decreciente y cuando la curva es cóncava hacia arriba la derivada es una función creciente.

 

Definición de concavidad: Sea f diferenciable en un intervalo abierto. Diremos que la gráfica de f es cóncava hacia arriba si f´ es creciente en ese intervalo y cóncava hacia abajo si f´ es decreciente en ese intervalo.

    Por lo que sabemos de funciones crecientes y decrecientes, si f' es creciente en un intervalo, entonces su derivada f'' es positiva en ese intervalo y si f' es decreciente entonces su derivada f'' es negativa en ese intervalo. La siguiente gráfica muestra este concepto.

 

    Las anteriores observaciones nos llevan a postular el siguiente criterio sobre concavidad:

 

Teorema 19: Criterio sobre concavidad. Sea f una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto (a,b).  Si f''(x)>0 para toda x en (a,b), entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en (a,b).  Si f''(x)<0 para toda x en (a,b) , entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajoen (a,b).

 

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