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1.11.3 Extremos relativos

La función f(x)=x³ - x² - 12x no tiene extremos absolutos en el intervalo abierto (-4,5), ¿por qué? Fíjate en la siguiente gráfica:

 

f(x)= x3 - x2 -12x  f'(x)= 3x2 - 2x -12  Números críticos: {-1.69425, 2.36092}

 

    Si prestamos atención a los valores de la función para aquellas x's cercanas a (o en la vecindad de) x=c₁ y x=c₂ (los puntos azules de la gráfica), observarás que f(c₁) es el valor máximo de la función en un intervalo (a₁,b₁) que contenga a c₁ y f(c₂) es el valor mínimo de la función en un intervalo (a₂,b₂) que contenga a c₂.

    Estos puntos reciben el nombre de extremos relativos o locales, y se definen como sigue:

Definición de extremo relativo: Un número y1=f(c1) es un máximo relativo de una función f, si f(x)f(c1) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c1. Un número y1=f(c1) es un mínimo relativo de una función f, si f(x)f (c1) para toda x en algún intervalo abierto que contenga a c1.

 

   Como consecuencia de esta definición puede concluirse que todo extremo absoluto (excepto extremo en la frontera) es también un extremo relativo.

    Es muy importante que notes que los puntos en azul de la gráfica anterior no fueron obtenidos por medio de simple tabulación. (¿Cómo es la tangente a la gráfica en los extremos relativos?).

   Para encontrar los extremos relativos no es suficiente el graficar la función por medio de simple tabulación.
Observa los puntos que marcan los extremos relativos de la siguiente gráfica.

f(x)= -3x2/3  - 2x     2(x1/3  - 1) f'(x)=    x1/3   Números críticos: {0.0, 1.0}

 

  Examinando la gráfica anterior observarás que los extremos relativos de la función mostrada ocurren en valores de x en los que la curva no tiene tangente o en los que la tangente es horizontal (o vertical).

    Por lo tanto los valores de x en los que f'(x)=0 o f'(x) no existe, son importantes.

 

Definición de valor crítico: Un valor crítico de una función f(x) es un número c en su dominio para el cual f'(c)=0 ó f'(c) no existe.

 

  Es importante notar que f(c) debe estar definida para que el número c sea un valor crítico. Enunciamos en seguida dos importantes teoremas.

Teorema 16: Si una función f(x) tiene un extremo relativo en un número c, entonces c es un valor crítico.

 

Nota importante : El teorema anterior NO dice que en todos los valores críticos habrá un extremo relativo.

    Observa la siguiente gráfica.

 

f(x)= x3 + 1  f'(x)= 3x2  Números críticos: {0.0, 0.0}

 

  Como puedes observar, x=0 es un número crítico, pero f(0) no es un extremo relativo.
 

Teorema 17: Si f(x) es continua en un intervalo cerrado [a,b], entonces un extremo absoluto ocurre en un punto frontera del intervalo o en un valor crítico en el intervalo abierto (a,b).

 

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