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3.1.1 Introducción

Hasta ahora hemos estudiado curvas en un plano descritas mediante una ecuación cartesiana. Es decir, hasta ahora, los puntos de una curva han estado especificados por una ecuación en coordenadas rectangulares.

    Esta no es la única forma de especificar una curva en un plano. En este cuaderno estudiaremos otra forma de describir una curva en el plano, mediante un par de ecuaciones, llamadas ecuaciones paramétricas.

    A manera de introducción, repasaremos el movimiento de un proyectil.

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Movimiento de un proyectil

El movimiento de una partícula a lo largo de una curva se llama movimiento curvilíneo.

    En física se demuestra que el movimiento de un proyectil ocurre en un plano, digamos el plano xy, y que dicho movimiento está regido por el hecho de que su aceleración en las direcciones x, y satisface las condiciones

 

ax = 0,   ay = - g,

en donde g es la aceleración de la gravedad, y por definición de aceleración,

ax = x´´(t),   ay = y´´(t).

 

    En t = 0 se toma x = x_o, y = y_o y las componentes de la velocidad inicial v_o son

vox = vo Cos() ,

voy = vo Sen()

 

   Observa la siguiente figura.

	vo = 10 m/s   ángulo  = /6
	vox = 10 cos (/6) = 5(3)1/2     voy = 10 sen (/6) = 5

 
 

    Integrando las ecuaciones de las componentes de la aceleración con respecto al tiempo, obtenemos las componentes de la velocidad en las direcciones x, y.

ax = 0;		ay = -9.8;
			t
vx - vox	=		o	ax dt	=	0		vx = vox
			t
vy - voy	=		o	ay dt	=	-9.8 t		vy = voy - 9.8 t

 

    Integrando estas con respecto al tiempo, obtenemos las componentes de la posición.

x = xo + vox t,
y = yo +voy t -	1 2	g t2

    En estas últimas ecuaciones, las coordenadas (x, y) de la partícula dependen de un parámetro, que es el tiempo t.

    A ecuaciones de este tipo se les llama ecuaciones paramétricas y describen el movimiento de la partícula en un intervalo 0 <= t <= T.
 
    En el presente ejemplo, T es el tiempo en el que la partícula choca contra el suelo.
 
    Observa el movimiento de la partícula, dadas las condiciones iniciales x_o = 1, y_o = 1.5, v_o = 10 y el ángulo  = 30°.

 

x(t) = 1 + 5(3)1/2t  y(t) = 1.5 + 5t - 4.9t2

 

    Como pudimos observar, las ecuaciones paramétricas dadas describen la trayectoria de la partícula, que en este caso es una parábola.